斯涅尔定律最愚蠢的证法

2022 年整的最后一个活。

问题

平面直角坐标系上有两点 $S(0,h_1)$ 和 $T(w,h_2)$ 满足 $h_1>0,h_2<0$，一个动点 $P$ 从 $S$ 出发移动到 $T$。$P$ 在 $x$ 轴上方时的速度为 $v_1$，在 $x$ 轴下方时的速度为 $v_2$，求时间最短的路径。

斯涅尔定律：$\dfrac{\sin(\theta_1)}{v_1}=\dfrac{\sin(\theta_2)}{v_2}$

证明

显然，路径为两条线段组成的折线，转折点在 $x$ 轴上。

设折线与 $x$ 轴交点位于 $(0,x)$。

容易得出路径长度的函数 $f(x)$：
$$f(x)=\dfrac{\sqrt{h_1^2+x^2}}{v}+\dfrac{\sqrt{h_2^2+(w-x)^2}}{v2}$$

当取 $h_1=3,h_2=5,w=10,v_1=3,v_2=1$ 时，函数图像长这个样子：

发现它是一个单谷函数，它的最小值就是唯一的极小值。所以求导：

$$f’(x)=\dfrac{v_2x\sqrt{(w-x)^2+h_2^2}-v_1(w-x)\sqrt{x^2+h_1^2}}{v_1v_2\sqrt{x^2+h_1^2}\sqrt{(w-x)^2+h_2^2}}$$

最小值点的导数为 $0$，所以得出：

$$v_2x\sqrt{(w-x)^2+h_2^2}=v_1(w-x)\sqrt{x^2+h_1^2}$$

$$\dfrac{x\sqrt{(w-x)^2+h_2^2}}{(w-x)\sqrt{x^2+h_1^2}}=\dfrac{v_1}{v_2}$$

$$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+h_1^2}}:\dfrac{w-x}{\sqrt{(w-x)^2+h_2^2}}=v_1:v_2$$

$$\dfrac{SP}{SM}:\dfrac{QT}{MT}=v_1:v_2$$

$$\dfrac{\sin(\theta_1)}{v_1}=\dfrac{\sin(\theta_2)}{v_2}$$

证毕。